秦九韶（1208—1268），字道古，四川普州（今安岳）人，嘉定元年（1208）春诞生在普州，绍定二年（1229）十月，秦九韶擢郪县县尉，绍定四年（1231）八月，秦九韶参与魏了翁平抑泸州蛮夷，葺其城楼橹雉堞，绍定五年（1232）八月乙丑进士，绍定六年，秦九韶在魏了翁带领吴潜等督视潼川府路、成都府路时认识吴潜，魏了翁和吴潜同秦九韶去拜望病中的许奕。端平三年（1236）一月，秦九韶擢升湖北蕲州（今湖北蕲春县）通判，嘉熙元年（1237）年秋，秦九韶知和州（今安徽和县）。嘉熙二年（1238），秦九韶回临安丁父忧，秦九韶在杭州丁父忧期中，发现西溪两岸的群众过河很不方便，在西溪上设计修建一座桥，名“西溪桥”，数学家朱世杰为纪念秦九韶，将桥命名为“道古桥”。嘉熙三年（1239），秦九韶在杭州处理完父亲的后事之后，便和母亲、妻子回到湖州西门外父亲早年备置的宅第，继续丁父忧。秦九韶在湖州丁父忧期中，与知庆元府（浙江宁波）吴潜交尤稔，着手改建父亲备置的住宅(19)。淳祐三年六月，吴潜回湖州丁母忧，秦九韶与被夺官的吴潜交往更是密切。淳祐四年（1244），秦九韶以通直郎出任建康（南京）府通判，十一月，秦九韶丁母忧，解官离任，(21)回湖州为近八旬的母亲守灵，将潜心研究、用于实践中的数学成果，著书《数学大略》。此时，吴潜也在湖州丁母忧，两人交往甚犹。淳祐八年（1248），《数学大略》得荐于朝。淳祐九年（1249），目录学家陈振孙，在编书目时向秦九韶请教，淳祐十年年（1250），秦九韶卸任建康通判，出任苏州州守。宝祐二年（1254），九韶出任江宁（江苏南京）府知府、沿江制置司参议官，管理江南十府粮道(26)，宝祐四年去职。宝祐六年（1258），秦九韶由贾似道荐于李曾伯为琼州守，凡数月去之。开庆元年（1259）十月，吴潜第二次入相，秦九韶有江东（江苏南京）议幕之除。又除司农丞前去平江（府治在今苏州市）措置米餫，俱以事罢。景定元年（1260），秦九韶知临江军（江西清江县西临江镇，南宋为临江军，辖清江、新喻、等县）。景定二年（1261）六月，秦九韶广东梅州知军州事。咸淳四年（1268）二月(30)，秦九韶在梅州治政近六年左右，得知朝廷为吴潜追复爵禄，了却心中惦念的沉冤，在梅州辞世，时年六十一岁。
秦九韶的少年时代
一、秦九韶出生在南宋朝廷的一个宦官家庭
秦九韶出生在南宋的一个宦官家庭，父秦季槱，字宏父，普州人，绍熙四年（1193），与乔行简、崔与之、陈亮等同年登进士第。庆元三年（1197）丁乙，秦季槱接替宇文子震出知潼川府，嘉泰四年（1204）癸亥，秦季槱回普州丁父忧，杨辅接替秦季槱知潼川府(31)，开禧三年（1207）仲冬，秦季槱丁父忧除，奉诏回朝廷，任秘书省秘阁(32)。嘉定五年（1212）六月，秦季槱接替刘光祖知巴州，很有可能，秦季槱此时才将母亲、妻子和秦九韶接到巴州团聚。嘉定十二年三月乙亥，兴元军士权兴等作乱，秦季槱守巴州失陷，他才和母亲、妻子、秦九韶回到临安。嘉定十五年后，擢升工部郎中、秘书少监兼国史院编修官、实录检讨官、直显谟阁，宝庆元年六月，以直显谟阁知潼川府，绍定二年五月（1229），秦季槱以显谟阁奉祠临安府，许奕除宝谟阁直学士知潼川府(33)。嘉熙二年（1238），秦季槱在临安辞世。
二、九韶“早岁侍亲中都，因得访习于太史”的学习生活
秦季槱回朝廷相继做了工部郎中和秘书少监，给秦九韶提供了良好的学习环境。秦九韶充分利用父亲掌管天下城郭、宫室、舟车、器械、符印、钱币、山泽、苑囿、河渠之政、营造工程、皇家古今经籍图书、国史实录、天文历数之事等有利条件和机会，集中精力，向‘太史局的吴泽、靳大声、杨忠辅、刘孝荣等有学识的太史、官吏、学者学习，使之成为博学多能的青年学者。”
秦季槱三位同庚（同生于淳熙五年，即1178年）、同年登进士甲科的挚友许奕、魏了翁、真德秀，既是南宋敢于直面朝廷腐败，敢于抨击史弥远、贾似道等奸臣，主战抗击外来入侵的忠臣，又学识渊博，秦季槱比许奕、真德秀、魏了翁早六年入士及第，论年龄为长。他们四人同时立朝，政治倾向相同，都忠臣良相，有着特殊的四方关系，还是秦九韶的长者，秦季槱必然会恭请挚友为子师，督促秦九韶虚心向他们学习渊博精深的知识，三位长者对秦九韶的关心、呵护自然是不言而喻，且魏了翁，“少长，英悟绝出，日诵千余言，过目不再览,乡里称为神童。年十五，著韩愈论，抑扬顿挫，有作者风”(34)。秦九韶年少“不闲於艺，因得访于太史，又尝从隐君子受数学”、“性极机巧，星象、音律、算术以至营造等事，无不精究”(35)，两人少时天赋、性格极其相似，魏了翁必然更是喜欢和器重秦九韶，做他的良师益友。聪慧好学的秦九韶，不仅潜心向真德秀、魏了翁、许奕学习诗词、天文、祭祀、历法等知识，十分崇敬他们的刚直不阿的道德情操，学习他们对国事的忠悃，对奸臣的愤激(36)。
秦九韶虚心向叶适学习哲学、文学、政论，尤其是叶适“强调‘道’存在于事物本身之中，‘物之所在，道则在焉’。提倡对事实作实际考察：‘夫与折衷天下之义理，必尽考详天下之事物而后不谬’”等思想对秦九韶影响很深(37)。数年后，秦九韶“数数之传，以实为体”(38)的论断经典，应该说是受叶适“夫与折衷天下之义理，必尽考详天下之事物而后不谬”思想的极大影响。或许就是叶适“‘道’存在于事物本身之中，‘物之所在，道则在焉’”这一哲学思想在数学上的演进。同时，秦九韶还虚心向杨简学习诗词、历法和哲学思想，尤其是“心即是道，宇宙的变化即人心的变化过程，以明心为修养之本”等哲学思想体悟很深。
秦九韶还拜李梅亭为师，学习骈俪、诗词、游戏、毬马、弓剑(39)、(40)，后来李刘与秦九韶成为朋友，经常有来往(41)。
秦九韶的数学启蒙之师是隐君子陈元靓。绍定三年之前，陈元靓已经有瘾君子之称，他和朱鉴等一起在临安的机会最多，他看的书极多，尤其是新书，对数学很有研究，到过文化发达的城市，居处距临安不远，去临安不是很困难，秦九韶拜师向他学习数学就是情理之中的事情，“朱熹、陈元靓都是道学家，或者说对秦九韶有影响，秦认为‘数与道非二本’的‘道’可能是通过瘾君子陈元靓学来的(42)。
应该说：秦九韶随父亲在临安期间的数年间，已经把全部精力用在学习上。他正是这样通过向多方面的人学习，才逐渐成为一名学识广博的青年学者。
秦九韶的数学成就
宋理宗淳祐四年（1244年），十一月，秦九韶解官建康通判，回湖州丁母忧，一边为母亲守灵，一边把自己几十年勤奋学习、苦心钻研、实践、总结的数学成就结晶，精选出来的较有代表性的81个问题，分为9类，每类9题，成18卷，淳祐七年，世界最高水平的数学名著《数书九章》成书。
秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平．
秦九韶在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法．
这也是“增乘开方法”的主要特点。有人说，计算机发明以后，解方程变得有趣了．确实是这样，秦九韶的高次方程数值解法，可以毫无困难地转化为计算机程序。在《数书九章》中，秦九韶列举了20多个解方程问题，次数最高达10次．除一般方法外，还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特 殊情形，并将其广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题．在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1840年，意大利数学家P．鲁菲尼(Ruffini，1765-1822)才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数根的近似值问题，而1819年英国数学家W．G．霍纳(Horner，1786—1837)在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”中，才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”．秦九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。
秦九韶对于一次同余组解法的理论概括，是他在数学史上的另一杰出贡献．中算家对于一次同余式问题解法的研究是适应天文学家推算上元积年的需要而产生的．最早见于记载的一次同余问题是《孙子算经》中的“物不知数问题”(亦称“孙子问题”)：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几有何？”这相当于求解一次同余组。
秦九韶的大衍求一术与他的高次方程数值解法一样，简洁、明确、带有很强的机械性，其程序亦可毫无因难地转化为算法语言，用计算机来实现．在《数书九章》中，秦九韶通过大量例题，如“古历会积”、“治历演纪”“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等，展示了大衍求一术在解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题中的广泛应用．由于在许多问题中，模数Ai并非两两互素，而中国传统数学没有素数概念，所以将模数化为两两互素是相当困难的问题．秦九韶所设计的将模数比为两两互素的算法，尽管还不完善，但仍比较成功地解决了这一难题，有人称之为“没有素数的素数论”。综观他在求解一次同余组问题的各项成就，正如中科院研究员李文林、袁向东所说：“所有这些系统的理论，周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示了秦九韶高超的数学水平和计算技巧。”在西方，最早接触一次同余式的是意大利数学家L．斐波那契(Fibonacci，约1170-1250)．他在《算盘书》中给出了两个一次同余问题，但没有一般算法．直到18—19世纪，L．欧拉(Euler，1743)、G．F．高斯(Gauss，1801)才对一次同余组进行深入研究，重新获得与中国剩余定理相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。1852年，英国传教士、汉学家伟烈亚力(A．Wylie，1815-1887)发表《中国数学科学札记》(Jottings on the science of Chinese arithmetic)，其中谈到了大衍求一术．从1856年到1876年，德国人L．马蒂生(Matthiessen，1830-1906)等西方学者又多次指出大衍求一术原理与高斯方法的一致性，从而更加引起了欧洲学者的瞩目．德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。《数书九章》中，除了前面提到的大衍求一术和正负开方术两项重要成就外，还记载了不少其他方面的成就．例如，他改进了线性方程组的解法，普遍应用互乘相消法代替传统的直除法，已同今天所用的方法完全一致；在开方中，他发展了刘徽开方不尽求微数的思想，最早使用十进小数来表示无理根的近似值；他对于《九章算术》和《海岛算经》的勾股测量术也多所阐发；他在几何方面的另一项杰出成果是“三斜求积术”，即已知三角形三边之长求其面积的公式。
《数书九章》的内容非常丰富，我们不仅可以找到数学和天文历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料，而且还可以从中了解到南宋时期户口增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等等社会经济领域的真实情况。
秦九韶的哲学思想和数学思想
关于秦九韶的哲学思想和数学思想，显然与宋代儒学中的道学学派一致。他明确指出“数与道非二本也”，再加上数学实践的切身体会，使他对于数学的重要性产生了较为清楚的认识。秦九韶高度评价数学的作用，反对轻贱数学的世俗看法。他说，数学研究“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉！” 秦九韶将数学的应用概括为大、小两个方面，实际上继承了中国传统数学思想关于数学的作用的论述。然而，秦九韶通过自己的数学研究实践，认识到“所谓通神明，顺性命，固肤末于见”，而将自己的才智专注于“经世务，类万物”的“小者”上，十分重视和注意搜求天文历法、生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题，“设为问答，以拟于用”，尽力满足社会实践的需要，并告诫人们要学好数学，精于计算，以避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等等不良后果。古今中外，许多人为文做事，尤其是在“神明”、“性命”这类问题上，常常不懂装懂，自欺欺人。秦九韶与此相反，坦诚地承认自己对“大者”的体会十分肤浅。在中国古代大数学家中，只有秦九韶在对数学的作用的认识上如此坦率，反映了他具有不慕虚荣、实事求是，“知之为知之，不知为不知”的科学精神(43)。
《数书九章序》还集中体现了秦九韶关心国计民生，体察民间疾苦，反对政府和豪强的横征暴敛，主张施仁政，秦九韶恪守传统道德的恕道，将自心比人心，认为下层受欺压、盘剥的民众需要仁政，就像自己溺水需要救援,自己饥饿需要吃东西一样紧迫。同时，秦九韶不甘寂寞，在国难当头与乱世之中，在政治腐败、黑暗之时，不去避世免祸，而是企图通过“嗜进谋身”，以自己的知识为社会服务，他主张抗金、抗蒙(44)，站在董槐、魏了翁、乔行简、崔与之、吴潜等抗战派一边，为抗金、抗蒙战争效力。尤其是深深卷入了统治集团的内部斗争，在投降派贾似道与吴潜的斗争中，他属于抗战派吴潜的营垒，引起了贾似道、刘克庄、周密辈的嫉恨，被吴潜冤案株连，遭到诋毁，贬逐；刘克庄、周密的文字又流传到后世，人们不察，铸成了千古奇冤。现在是该将被颠倒的秦九韶的形象颠倒过来的时候了(45)。
总之，秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。” 德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G•Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。