甘延寿，字君况，西汉北地郁郅人，即今庆城县人。出身名门，少年时就善骑射，被选拔到御林军中。他很有力气，投石块、举重物一般人都赶不上他；轻功也很好，据说能逾越御林军驻地的楼台、阁亭；在与其他军士徒手搏斗时，没有人能胜过他，后被提升为郎官。西汉皇帝看重他的武艺和气力，不久便调升为辽东太守，曾因事被免官。车骑将军许嘉推荐他担任了郎中和谏议大夫，随后朝廷派他出使西域，就任都护骑都尉，与副校尉陈汤共同诛灭了匈奴的郅支单于，被封为义成侯。
当初，匈奴的郅支单于率族徙居坚昆，埋怨汉朝廷偏护呼韩邪单于，便扣押汉朝廷的使臣江乃始等人，并派使臣要求归还作为人质的儿子驹于利爱。汉元帝同意放其子回国，特派卫司马谷吉送归。谷吉被郅支单于杀死。郅支单于知道又得罪了汉廷，又听到呼韩邪单于渐渐强大起来，恐怕遭到袭击，就引兵向西到康居国。康居国王与郅支单于相互娶了对方的女儿，互为翁婿，然后联兵往攻乌孙国，直到乌孙国都城赤谷城下，抢得许多人畜方才还师。郅支单于因胜生骄，蔑视康居国，- 和杀死了康居王女。郅支单于害怕康居国报复，又徙移部族到赖女滨，强迫人民花两年时间修筑了城池，据险自固。后多次派人去大宛等国，强行征收贡物。汉朝廷还以为谷吉未死，派使者去探听，才知谷吉早被杀死，再派人索要尸骸，郅支单于不但不给，反将汉朝使臣拘押。郅至单于假装要求汉朝廷任命他为西域都护官，说自己住的偏僻，困难很多，情愿归附大汉，并派儿子人质。其实都是假言诳语，意在欺骗汉廷。西域都护郑吉已年老多病，要求退休，汉元帝乃派甘延寿、陈汤2人出镇乌垒城。陈汤是个文人，足智多谋。
汉元帝初元三年(公元前46年)的一天，陈汤向甘延寿建议道：“少数民族国家因害怕而服从大国，这是他们的地位和本性决定的。前一段西域诸国曾服从过匈奴。今郅支单于迁移到这里，自以为国强，侵犯乌孙、大宛，并为康居国王出谋划策，想吞并这两个国家。若乌孙、大宛果然被吞并了，势必又北攻伊利国，西取安息国，南击月氏国，不出几年，西域诸国将尽为匈奴所有。而且郅支单于剽悍善战，现在不图取他，必然成为西域的大患。最好先发制人，把屯田垦地的将士全都动员出来，加上乌孙国的部众，直指郅支单于的都城，乘他们不防备，很容易攻入。利用这个机会斩杀郅支单于，将其首级上献朝廷，岂不是建立了千载难逢的大功么?”甘延寿也认为是个好计策，想先奏明朝廷同意后再实施。陈汤又劝说：“朝廷公卿，怎么能考虑那么远?如果你上奏叫他们知道了，反而不见得就依从咱们。”甘延寿不愿意独断专行，没有马上行动。正考虑上 书 奏请，忽然得病，只好搁置一旁。
甘延寿正在调理疾病的时候，陈汤擅自发兵万人请行。如此，箭在弦上，不得不发。甘延寿带病与陈汤将兵分为6队，即日起行。3队从南道越过葱岭，由大宛绕往康居国；他与陈汤率领另3队人马，从北道过乌孙国都，人康居国境。他们走到阗池西面，恰巧碰上了康居副王抱阗领骑兵千余侵犯乌孙的都城赤谷城，抢了些人畜回来。当即被汉兵截杀一阵，夺还人口470人，交付乌孙的大昆弥领回，牲畜留作军食。再西人康居国地界，访探到康居贵人屠墨与郅支单于关系不好。就派人召来陈汤与他歃血为盟，遣令他回去仍管理部众，不得与汉朝为敌。同时约束部众，不犯秋毫。在路途中，又遇上屠墨的儿子开牟，派他为向导，直向郅支单于的都城进发。离此城30里地扎下营盘。
郅支单于一面派人诘问汉兵何故到此，一面号令人马分头拒守。布置甫定，汉兵已鼓噪前来。但见都城城头上遍列五彩旗帜，数百名壮士已披甲登城守卫，又有数百名骑士出城往来驰骋，步兵则在城门口布成鱼鳞方块阵守候。城外百余游骑见汉兵攻来，却也不管好歹，纵马来冲汉兵。汉兵早有防备，张弓迭射，箭如雨注，将胡骑击退。
甘延寿
汉兵从后追击，直抵城前，将城团团围住。城有两重，外是用大木头编连而成的木城，内是夯土成墙的土城。木城有孔隙，里面胡兵射箭出来，伤毙汉兵数人。甘延寿与陈汤怒不可遏，命士兵纵火烧城，木城遇火，立即燃烧，胡兵抵御不住，多半逃人内城，只有数百锐骑，出外阻拦，统被汉兵射死。汉兵前拥刀牌，后持驽戟，一齐杀人木城，扫尽胡兵，然后再攻土城。
郅支单于见汉兵势盛，心想出走，但想到汉兵经过康居国，未听见开仗，猜想康居国王可能投靠了汉兵，而且眼见汉兵中杂有西域各国军马，都为汉朝廷效力，即使脱逃出重围，也无处可去，因此决心死守。兵马不足，连宫人也被驱赶上城。他自己全身披挂上城指挥，其大、小夫人约有十几人，其中能射箭的也弯弓俯射汉兵。汉兵用盾遮挡，找空隙还射。弓弦响处，射倒几名单于的夫人，其中有一箭不偏不倚，正中郅支单于的鼻子。郅支单于忍痛退到城下。
汉兵正要登城，突被康居国发来的万余军马围住。甘延寿与陈汤不得不暂缓攻城，急令军土守住营寨。此时正是半夜，他们派一奇兵偷出康居国的包围圈，转袭其后背。康居兵未有觉察，仍与城内遥相呼应，夹击汉兵。汉营坚守不出，用强弓硬 射杀，用 大戟猛刺，任康居兵多次冲突，均被击退。眼看天色将明，康居兵皆已疲倦，突然汉营中鼓钲大作，军士杀出，康居兵的背后也火光四起，烟焰中拥出汉兵无数，前后夹攻，康居兵死伤无数，只有少部分人抱头鼠窜而去。
外患即除，汉军又转攻城里。四面架梯，顿时将城攻破。郅支单于及男女百余人退入宫内，汉兵纵火焚烧，争抢攻人，单于被乱刀砍死。军侯杜勋抢先一步，割下首级，携去报功。其他军士杀死单于夫人、太子、名王以下1，500多人，生擒番目145人，收降胡人千余人。搜得汉使节2柄，并前时谷吉所带的诏书。此外金帛、牲畜等件遍赐从军将士和西域各国随征的兵士，全体欢腾雀跃。
在投降的胡军里面有一部分为罗马将士。公元前53年(西汉甘露元年)，罗马帝国三巨头之—的克拉苏统率7个兵团，约4万多人的大军对安息(今伊朗一带》发动了侵略战争，史称“罗马军东征”。这支以擅长剑术和，“方块阵”作战著称的军队，出奇制胜，所向无敌，很快推进到卡乐莱(今叙利亚的帕提亚)地区。
一天，得意忘形的罗马军突然被高举用中国丝绸做旗帜的军队包围。经过鏖战，统帅克拉苏战死，大部分将士成为刀下之鬼，只有克拉苏的长子普布利乌斯率领千余人突围出来。几经转折。投靠了郅支单于，成为主力部队，为郅支单于守城、布阵。所以郅支单于所筑的城防和布置的阵势带有罗马帝国的风格。这次战争中，罗马人又被汉军俘获。汉朝廷为了安置他们，在今河西走廊的永昌县境内建筑了一个骊革于城供他们居住生息。至今，在永昌县境内，还有一些高鼻、深目、白肤、棕发的人，具有西方人的特征，就是这次战争所俘获的罗马人的后裔。
甘延寿与陈汤建此大功。汉元帝本想加封，但朝廷重臣石显、匡衡却说：“延寿、汤擅自兴兵，功难抵罪，而且陈汤私取财物，应即查办。若加封晋爵，将来有人出使，就会乘危生事，此风断不能开，以免祸害国家。”在此之前，甘延寿与陈汤已将擅自兴兵一事向皇帝上 书 认了罪。但因重臣有意阻挠，汉元帝迟迟下不了加封的决心。此时光禄大夫刘向上 书 朝廷，提请封赏甘、陈2人，大致内容是：
郅支单于扣杀汉廷使臣和随从将吏百令人，此事国内外都知道了，有损汉王朝的威严。群臣既怜悯这些受害者，又气愤郅支单于的狂暴，皇上也想诛杀他为臣下报仇，所以时时想着西域这件事。都护延寿、副校尉陈汤，身负皇上旨意，受到神灵的保佑，动员西域其他国家的国王，带领屯田的汉兵，出生入死，攻破了康居国，占领了五重城，斩获了郅支单于的首级，终为谷吉被杀雪耻，弘扬了汉王朝的威严，不仅西域各国表示臣服，就连匈奴的呼韩邪单于也愿累世称臣。这是立了千载之功，建了万世的安宁，群臣都认为2人所建的功勋是很大的。
过去周大夫方叔、吉甫为周宣王诛杀了猃狁，用王朝给予很重的赏赐。现在延寿、汤立了这么大的功，反而受到有些人的攻击，不能得到加封；这在以后怎么激励边关将士呢?齐桓公前头有尊重周王朝的功劳，后面有灭项国之罪，但有识之土认为齐桓公是功大于过。就在本朝，将军李广利，损失了5万军队，耗用亿万钱的资费，经过4年的辛苦，而仅仅获得骏马30匹，虽然斩了宛王母鼓之头，但抵不上他花费时资财。要论罪，这罪是很大的，然而孝武皇帝不说他的过错，有2人封侯，3人成了公卿，食邑2500户的有几个人。而今康居国疆域大于大宛国，郅支单于的名号重于宛王，他的罪行比留马要重得多，延寿、汤不动用国内之兵，不费1斗粮食，却取得了很大的战功，着与李广利相比，功德比他大百倍。而且常惠、郑吉这些人仅仅跟随别人做了一些微不足道的事，也受到封赏，但对延寿、汤却大功不赏，小过就罚，我十分痛惜。我建议解县通籍，除过勿治，尊宠爵位，以劝有功。
此书呈人，正合元帝之意，遂封甘延寿为义成侯、水校尉；赐陈汤关内侯、射声校尉；各食邑300户，加赐黄金百斤。